선형대수학 [3], 소거법(Elimination)의 소개

지난 포스팅에서는 연립 선형 방정식을 다루어 보았습니다.

연립 방정식을 풀기 위해 Row Picture상에도 나타내 보았고, Column Picture 상에도 나타내 보았습니다.

또, 잠깐 스쳐서 설명하긴 했지만, 한 식에서 다른 한 식을 빼서, 하나의 미지수를 제거하는 방법도 소개했었지요.

이번 포스팅에서는 미지수를 제거해 나가면서 연립 방정식을 푸는 소거법(Elimination)에 대해 알아보겠습니다.

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소거법과 Row Picture

지난시간에 다루었던 연립 일차 방정식을 다시 가져와볼까요?

지난 시간에 위의 식의 양 변에 4를 곱한 다음 아래 식을 빼서  이런 식을 도출해 낸 것을 기억하실껍니다.

따라서, 결국 최종적인 연립방정식은 아래와 같이 변하게 되었습니다.

그러면 Row Picture 상에 나타낸 이 연립방정식은 어떻게 되었을까요?

미지수 x를 소거(Eliminate)하기 전의 Row Picture는 아래와 같았습니다.

그럼, Elimination 을 한 뒤에 Row Picture 상에 나타내면 어떤 모습을 가질까요?

하나의 그래프가 x축과 평행해졌습니다. (y=9)

이는, x값에 변화하던 변화하지 않던간에 y값에는 변화가 없음을 의미합니다.

즉, y값은 상수로 이미 정해져 있고, 이 y값과 빨간 그래프 상의 교점이 바로 연립방정식의 해인 (1,9) 입니다.

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소거법의 첫 번째 붕괴(Breakdown)

소거법을 통해 연립방정식의 해를 구하는 방법은 매우 쉽고 간단해 보입니다. 그러나 소거법을 이용해 해를 구할 수 없는 경우도 있습니다. (물론 소거법을 이용해 구할 수 없다면, 앞서 배운 Row Picture 방법이나 Column Picture 방법을 이용해도 구할 수 없습니다.)

이 식에 소거법을 이용하면 어떤 일이 발생할까요? (직접 해보시겠어요?)

위에 식에 3을 곱한 식을 아래 식에서 빼볼까요?

세상에! 0 = 8이라는 놀라운 수식이 탄생했습니다.

이게 가능하냐고요? 물론 불가능합니다.

왜 이런 일이 발생했을까요?

소거법을 사용하기 전의 두 방정식을 Row Picture 상에 나타내볼까요?

두 방정식은 완전히 평행합니다.

다시 말하면, 두 방정식은 교점을 가지지 않는다는 것이고, 그 말은 곧 해를 가지지 않음을 의미합니다.

이러한 경우에는 소거법을 사용할 수 없습니다. (해를 구할 수 없습니다.)

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소거법의 두 번째 붕괴(Breakdown)

소거법을 사용할 수 없는 경우가 또 있습니다.

이 식에 소거법을 적용하면 어떤 일이 발생할까요?

0=0 이라고 하는 당연하지만 쓸모 없는 수식이 탄생합니다.

즉, 두 개의 방정식으로 보였던 연립 방정식이 하나의 식만 남기고 사라져 버렸습니다.

Row Picture상에 나타내도 마찬가지입니다.

빨간색 선과 초록색 선은 지금 동일한 위치에 겹쳐져 놓여 있습니다.

이는 해가 무수히 많음을 의미하며, 특정한 해 하나를 구할 수 없음을 의미합니다.

관계를 만족하는 모든 x와 y는 위 연립방정식의 해가 됩니다.

다르게 표현하면, x 값만 정하게 되면, y값은 x에 의해 정해짐을 의미합니다. 이 때 자유롭게 정할 수 있는 변수를 Free Variable 이라고 부르며, 이는 추후 다루도록 하겠습니다.