선형대수학 [0], 선형대수학의 이해

앞으로 꾸준히 선형대수학에 대한 내용을 포스팅하고자 합니다.

사실 오래 전에도 이러한 시리즈 포스팅을 시도해 본 적이 있지만 번번히 제 게으름을 이기지 못하고 포기해 왔었습니다.

제 게으름을 이기기 위해서는 구독해주시는, 혹은 지나가다가 우연히 이 연재를 본 독자분들의 관심이 필요합니다.

따뜻한 칭찬의 댓글도 좋고, 따끔한 비판 혹은 지적의 댓글도 모두 감사합니다.

이번에는 부디 마무리를 볼 수 있는 연재가 되기를 바라며 선형대수학 포스팅을 시작합니다.

먼저, 본 연재 시리즈는 아래와 같은 책을 기반으로 쓰여졌음을 밝힙니다.

http://book.daum.net/detail/book.do?bookid=BOK00029578281AL=

[ Introduction to Linear Algebra ]

이 포스팅을 찾으신 분들은, 선형대수학에 관심이 생긴 고등학생분들도 계실것이고, 대학 학부과정을 거치며 선형대수학 시험을 보기 위해 들어오신분들도 계실것이고, 오래전 배운 선형대수학의 일부가 기억나지 않아 찾아 오신 분들도 계실것입니다.

본 포스팅은 학부생 수준에 맞게 연재될 예정이며, 고등학생 분들도 따라오실 수 있도록 노력해보겠습니다.

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선형대수학(Linear Algebra)이란?

선형대수학이란 무엇일까요?

한국어 위키백과에서는 선형대수학을 아래와 같이 정의하고 있습니다.

선형대수학(線型代數學, 영어: linear algebra)은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다. 현대 선형대수학은 그중에서도 벡터 공간이 주 연구 대상이다. 추상대수학, 함수해석학에 널리 쓰이고 있다.

선형대수학은 자연과학과 공학에도 널리 활용된다. 선형 연립방정식을 푸는 좋은 방법으로는 소거법과 행렬식이 있다.

어렵지요?

한국어가 다 그렇듯, 말을 나누어서 이해하면 쉽습니다.

선형(linearity), 그리고 대수(algebra).

대수학이란, 수학의 일반적인 성질을 연구하는 학문을 의미합니다.

그중에서 선형성을 띄는 방정식들에 대한 내용들을 연구하는 학문이 선형대수학이지요.

정확한 정의는 아니지만 선형대수학을 아래와 같이 이해할 수도 있습니다.

선형방정식의 해를 구하기 위한 학문

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선형(Linearity)이란?

선형대수학을 논하면서 선형성에 대한 이야기가 빠질 수 없겠죠?

선형성에 대한 정의는 아래와 같습니다.

함수 와 임의의 수 에 대해 아래와 같은 식이 성립할 때 함수 는 선형이라고 한다.

어렵나요?

예를 한번 들어볼까요?

아래와 같은 세개의 함수가 존재한다고 생각해봅시다.

함수 는 선형일까요? 선형성을 테스트해보기 위해 와 를 구해봅시다.

따라서 위 함수는 앞에서 정의한 두 가지의 조건을 만족함을 확인할 수 있습니다.

두 번째 함수는 어떤가요?

인데 반해

이기 때문에 앞에서 정의한 두 가지의 조건을 만족시키지 않음을 확인할 수 있습니다.

세 번째 함수도 확인해봅시다.

세 번째 함수도 선형성의 조건을 만족시키지 않는군요.

이는 삼차함수, 사차함수와 같이 고차함수의 경우에도 마찬가지입니다.

즉, 다항함수에 대해서는 이차함수 이상의 고차함수는 선형성을 가질 수 없으며

일차함수의 경우에도 원점을 지날 경우에만(y절편이 0일 경우에만) 선형성을 가짐을 알 수 있습니다.

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마무리

우리는 앞으로 선형방정식을 다룬다고 앞서 말씀드렸습니다.

특히 선형방정식 가운데서도, 가장 기본적인 형태인 일차방정식을 주로 다룰 예정입니다.

선형성에 대한 정의는 선형대수학 뿐만 아니라 미적분학이나 다른 학문에서도 중요시 되는 개념이기 때문에 반드시 알고 넘어가시는 것이 좋을 것입니다.