선형대수학 [4], 단위행렬, 소거행렬, 역행렬, 치환행렬, 증강행렬

지난 강의에서는 소거법에 대해 간단하게 살펴보았습니다.

지난 시간에 소거법에 대해 다루고 나서, 행렬을 이용한 소거법(소거행렬)까지 다루려고 하였으나, 그러기 위해서는 단위행렬(Identity Matrix)에 대한 설명이 필요해서 소거법의 개념만을 설명하는 짧은 포스팅으로 대체했었습니다.

이번 시간에는 단위행렬(Identity Matrix)과 소거행렬(Elimination Matrix)을 중점적으로 배우고, 역행렬(Inverse Matrix)과 치환행렬(Permutation Matrix), 증강행렬(Augmented Matrix)에 대해 정의해보도록 하겠습니다.

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단위행렬(Identity Matrix)이란?

단위행렬은 행렬의 대각 원소(Diagonal Component)는 모두 1, 대각 원소가 아닌 원소들은 모두 0으로 이루어진 행렬입니다.

설명은 어렵지만 생긴 모양은 간단합니다.

3차 행렬(3 by 3 Matrix)에서의 단위행렬은 아래와 같이 생겼습니다.

마찬가지로 M차 행렬에서의 단위행렬은 아래와 같이 일반화 할 수 있습니다.

단위 행렬은 어떠한 행렬에 곱하더라도 자기 자신이 나온다는 성질을 가지고 있습니다.

임의의 행렬을 라고 하면, 항상 가 성립하는 것이지요.

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소거행렬(Elimination Matrix)이란?

행렬로 표현된 세 개의 미지수를 가지는 세 개의 연립방정식이 아래와 같은 형태를 가진다고 생각해볼까요?

이러한 형태의 행렬식의 양 변의 앞에 아래와 같은 행렬을 곱해봅시다.

(단위행렬처럼 생겼지만 원소이 0이 아니라 -k임에 주목해주세요.)

그럼 아래와 같은 식이 최종적으로 나오게 됩니다.

어떤 일이 발생했는지 감이 오시나요?

얼핏보면 라고 하는 새로운 방정식이 만들어 진 것 같지만

이 방정식은 사실 첫번째 방정식에 k를 곱한 다음 두번째 방정식에서 뺀 식과 동일합니다.

지난 포스팅에서 배웠던 "소거법"(Elimination)과 관련이 깊은 것이지요.

행렬식의 양 변에 단위행렬에서 원소가 -k인 행렬(소거행렬)을 곱한다는 의미는 번째 식에 를 곱해서 번째 식에서 빼준다는 의미와 동일합니다.

(번째 식에 를 곱해서 번째 식에 더해준다는 의미로 받아들여도 좋습니다.)

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소거행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

이번에는 실제로 소거행렬을 이용해 연립방정식의 해를 구해볼까요?

[2]번 포스팅에서부터 계속 사용해왔던 연립방정식을 또 다시 가져와봅시다.

그러고 나서 이 연립방정식을 행렬식으로 고쳐볼까요?

하지만, 이 행렬식만을 가지고는 x의 값과 y의 값(해)을 한 눈에 알아보기가 힘듭니다.

그래서 우리는 소거법(Elimination)을 사용해야 합니다.

1 번째 식에 4를 곱해서 2 번째 식에서 빼주면 미지수 x가 소거되겠지요?

다시 말하면, 위에서 말한 값이 각각 임을 의미합니다.

그럼 소거 행렬을 만들어볼까요? 원소 에 값을 넣은 단위 행렬이 이 행렬식의 소거행렬이 되겠네요.

이렇게 만들어진 소거행렬을 기존 행렬식의 양 변에 곱해봅시다.

소거가 완료된 행렬식을 보면 기존에 구했던 해인 을 쉽게 구해낼 수 있음을 알 수 있습니다.

드디어 선형대수학을 배우면서 실제로 유용하게 사용할 수 있는 첫 번째 스킬(Skill)을 얻었네요.

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역행렬(Inverse Matrix)이란?

임의의 행렬 의 역행렬은 으로 표현하며, 아래와 같이 정의됩니다.

(여기서 은 가 아님에 유의해주세요)

일반적으로 2차 정방행렬 (2 by 2 Matrix)의 경우 역행렬은 아래와 같이 정의됩니다.

2차 정방행렬의 역행렬이 위와 같음을 증명하는 과정이나, 고차 정방행렬의역행렬을 구하는 방법은 다음시간에 자세히 다루도록 하겠습니다.

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치환행렬(Permutation Matrix)이란?

치환행렬이란 기존 행렬의 행의 순서를 교체(치환)해주는 행렬을 의미합니다.

치환행렬은 문자 로 나타내며, 이는 i번째 행과 j번째 행의 순서를 바꿈을 의미합니다.

치환행렬은 단위행렬(Identity Matrix)의 순서를 바꿈으로써 정의할 수 있습니다. 예를들어서 3차 정방행렬(3 by 3 Matrix)에서 치환행렬 은 아래와 같이 정의됩니다.

실제로 행렬에 치환행렬을 곱해보면 행의 순서가 바뀐다는 것을 알 수 있습니다.

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증강행렬(Augmented Matrix)이란?

증강행렬은 앞서 배운 내용에 비하면 어렵지 않습니다.

단지 두 행렬을 하나의 행렬 형태로 합쳐놓았다고 생각하시면 좋습니다.

예를들어서 아래와 같은 두 행렬이 있다고 가정해봅시다.

그러면 증강행렬 는 아래와 같이 정의됩니다.

구분선( | )은 두 행렬이 증강되었음을 나타내기 위한 표시이며, 간혹 일부 텍스트에서는 나타내지 않는 경우도 있습니다.