선형대수학 [1], 벡터, 연산 그리고 차원

지난 포스팅에서 선형대수학의 기본 개념과 선형성의 정의에 대해 말씀드렸습니다.

이번 포스팅에서는 벡터를 주로 다루어 보겠습니다.

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벡터(Vector)란?

고등학교 교육과정을 거치신 분이라면 벡터가 무엇인지는 쉽게 정의하실 수 있으실 것이라 생각합니다.

벡터는 크기만을 가지는 스칼라와 달리 크기와 방향을 모두 가지는 양입니다.

예를 들어서, 몸무게의 경우 70kg와 같이 크기만으로 나타낼 수 있지만

위치의 경우 "원점에서부터 동쪽으로 40m" 처럼 크기와 방향 성분이 모두 필요합니다.

선형대수학에서는 백터를 아래와 같이 표현합니다.

a와 b는 벡터의 성분(component)라고 불리며, v는 벡터라고 불립니다.

특히 이 벡터는 행렬의 열(column)을 통해 표현되어지기 때문에 열벡터(Column Vector)라고 불립니다.

위에서 정의한 벡터 v는 2차원에서 정의된 벡터입니다.

(정확히 말하면 2차원의 Column Space에 존재하는 벡터입니다. 자세한 내용은 추후 다루겠습니다.)

마찬가지로, 3차원의 벡터도 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

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벡터의 연산

벡터를 더하고 빼는 방법은 간단합니다.

벡터에 스칼라값을 곱하는 방법도 간단합니다.

아래와 같은 두 벡터가 존재한다고 가정해봅시다.

그러면 벡터의 합과 스칼라곱은 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

어렵지 않지요?

벡터의 덧셈을 조금 더 기하학적으로 살펴볼까요?

위의 그림은 벡터를 화살표로 표시하였고, 벡터의 덧셈을 시각적으로 나타내고 있습니다.

위와 같이 두 벡터를 평행사변형 모양으로 더하는 방법을 "평행사변형법" 이라고 부릅니다.

조금 다르게 설명하자면, 두 벡터 v와 w의 합은 v벡터의 끝점에서 w벡터만큼 추가로 이동한 지점이라고 볼 수 있습니다.

벡터에 스칼라를 곱하는 행위는 어떨까요?

앞서 스칼라는 방향은 없고 크기만 가지는 성분이라고 설명드렸습니다.

따라서 벡터에 스칼라를 곱하게 되면 벡터가 가지고 있던 방향 성분은 변하지 않고 벡터의 크기만 변하게 됩니다.

예를 들어서 벡터 (1,2)와 그 벡터에 2를 곱한 (2,4)는 같은 방향을 가리키지만, 두 벡터의 크기는 다릅니다.

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벡터의 길이와 내적

스칼라 값의 경우 상호간에 자유로운 곱셈이 가능합니다.

예를들어서 7 과 8을 곱하면 56이라는 또 다른 스칼라 값이 탄생합니다.

벡터의 경우에는 이러한 연산이 조금 복잡해집니다.

벡터는 "곱셈" 이라는 용어를 사용하기 보다는 "내적"과 "외적"이라는 용어를 주로 사용합니다.

외적에 관한 내용은 추후에 가볍게 다루도록 하겠습니다.

우리가 주로 사용할 개념은 "내적" 입니다.

여기서는 내적에 대한 자세한 정의보다는 간단한 계산 방법만 설명드리도록 하겠습니다.

아까처럼 두 벡터  가 존재한다고 가정해봅시다.

그러면, 두 벡터의 내적은 아래와 같이 정의됩니다.

내적을 나타내기 위해 점 연산자( )를 사용하였고, 내적의 결과값은 스칼라임을 기억해주세요.

이 내적을 이용하면 벡터의 크기도 구할 수 있습니다.

(사실 내적이 크기를 구하기 위해서만 사용되는 것은 아니지만, 지금은 크기를 구하는데 집중해봅시다.)

벡터의 크기는 아래와 같이 정의됩니다.

두 벡터를 내적한 뒤 제곱근(square root)값을 구하면 그 스칼라 값이 벡터의 길이가 됩니다.

벡터를 내적하면 스칼라 값이 되기 때문에 제곱근을 씌울 수 있음을 주목해주세요.

두 벡터의 내적은 아래와 같이 벡터의 크기와 벡터 사이의 각도()를 이용해 정의할 수도 있습니다. 혹시 시험을 보시는 분들은, 내적값과 벡터의 크기를 이용해 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있음을 기억해주세요. 이 포스팅에서는 자세히 다루지 않겠습니다.

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벡터의 선형 결합(Linear Combination)

두 벡터 앞에 스칼라 값을 곱한 뒤 더하는 행위를 Linear Combination(선형 결합)이라고 부릅니다.

다시말해 선형 결합은 두 벡터 v와 w, 상수 c와 d가 존재할 때 cv 와 dw를 합하는 행위를 의미합니다.

2차원 상에 존재하고, 서로 평행하지 않은 두 벡터를 선형결합하면 무슨 일이 발생할까요?

먼저, 2차원 상에 존재한다는 것은 벡터의 Component가 2개라는 것을 의미합니다.

또, 평행하지 않다는 것은 서로 다른 방향을 가리킨다는 것을 의미합니다. 이는 "독립적(Independent)이다" 라는 말로 표현되기도 합니다.

좀 다르게 표현하면 한 벡터에 어떠한 스칼라값을 곱해도 다른 벡터를 만들 수 없다는 것을 의미합니다.

예를 들면 (1,2)와 (2,3)이 되겠네요. (1,2)에 어떠한 스칼라 값을 곱해도 (2,3)을 만들 수 없습니다.

두 벡터를 선형결합하면 어떤 일이 일어날지 감이 좀 오시나요?

두 벡터를 선형결합하면 두 벡터가 존재하는 평면상의 어떠한 벡터도 조합해낼 수 있습니다.

예를 들면 (x,y)평면(일반적으로 말하는 좌표평면) 위에 존재하는 평행하지 않은 두 벡터 (1,2)와 (2,3)을 생각해봅시다.

이 두 벡터를 선형 결합하면 앞서 말했듯 어떠한 평면위의 점도 나타낼 수 있습니다.

제 생일인 10월 2일을 이용해 벡터 (10,2)를 만들어볼까요?

벡터 (10,2)는 아래와 같이 표현될 수 있습니다.

두 벡터에 -26과 18이라는 상수를 곱해 벡터 (10,2)를 만들었습니다.

다르게 표현하자면, 임의의 2차원 평면은 평행하지 않은 두 벡터의 선형 결합으로 만들어 낼 수 있습니다.

잠깐만요. 2차원 평면은 (x,y)평면 하나 아닌가요? 왜 "임의의" 2차원 평면이라고 설명하죠? 라고 생각하시는 분들이 있을지 모르겠습니다.

지금 그 자리에서 팔을 쭉 뻗어보세요. 손바닥이 만드는 평면을 하나의 2차원 평면이라고 정의해볼까요? 그 상황에서 손바닥을 조금 회전해보세요. 지금 손바닥이 만든 평면이 아까의 평면과 같은가요? 그렇지 않습니다.

우리가 살고있는 3차원 공간에서는 무한히 많은 2차원 평면이 존재합니다. 이 2차원 평면은 또 다시 2개의 벡터의 선형 결합으로 표현됩니다.

물론, 3차원 공간이기 때문에 이 벡터의 component는 3개입니다.

예를들어서, 우리가 살고 있는 공간에서 현재 제 위치를 원점이라고 할 때, 두개의 평행하지 않은 벡터 (1m, 1m, 1m), (1m, 2m, 3m)로 하나의 평면을 정의할 수 있는 것이지요.

(머릿속에서 두 벡터가 동시에 존재하는 평면을 생각해보세요. 유일하지요?)

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차원(Dimension)

앞서 선형 결합을 설명하다 보니 차원에 대한 내용이 잠시 나왔습니다. 이번 포스팅은 차원에 관한 내용을 끝으로 마무리해볼까 합니다.

차원이란 무엇일까요?

일반적으로 0차원은 점, 1차원은 선, 2차원은 평면, 3차원은 공간 이라고 여겨집니다.

차원은 어떻게 정의될까요?

수학적으로 차원은 공간 내의 위치를 나타내기 위해 필요한 축(선)의 갯수를 의미합니다.

일차원의 경우 축은 하나로 표현될 수 있고 이차원의 경우 두개의 축(일반적으로 x축과 y축)이 필요합니다. 삼차원의 경우 세개의 축(x,y,z)이 필요하지요.

어떠한 이차원 세계가 존재한다고 생각해볼까요?

우리 눈 앞에 있는 종이가 하나의 이차원 세계라고 생각해봅시다. (사실 종이는 아주 미세한 높이를 가지기 때문에 삼차원 공간입니다...만 이차원이라고 가정해봅시다.)

종이는 이차원이지만 우리는 삼차원에서 살고있습니다.

다시말해서 이차원은 삼차원에서 정의될 수 있습니다.

종이의 입장에서는 오직 상하좌우로만 움직일 수 있고 위 아래로는 움직일 수 없어 자신들이 유일한 이차원 공간이라고 느낄 것입니다.

그러나 삼차원 세계에서 종이를 바라보는 우리의 입장은 조금 다릅니다.

책상에 놓여있는 종이와 90도 각도로 세워져있는 종이는 서로 다른 평면에서 정의됩니다. (선형결합을 통해 종이를 만드는 두 개의 벡터가 서로 다릅니다.)

이러한 개념이 몇 포스팅 뒤에는 자연스럽게 받아들어져야 합니다.

그래야 부분공간에 대한 내용들을 이해할 수 있고, Colomn Space, Row Space, Null Space, Left Null Space 들의 관계까지도 이해하실 수 있습니다.

물론 우리가 살고있는 삼차원 세계에서는 사차원을 정의하고 상상하기란 매우 힘이 듭니다. 따라서 우리는 개념적으로 이해해야만 합니다.

종이세계에 살고있는 사람들은 알 수 없는 또 다른 축(z축)이 존재하듯이, 우리가 살고있는 세계에 또 하나의 축을 꽂으면 그게 사차원이 되는것입니다.

사차원 세계에는 수많은 삼차원 공간이 존재할 수 있고, 사차원 세계에서는 Component가 4개인 서로 독립적인 벡터 3개로 삼차원을 정의할 수 있을것입니다.