선형대수학 [2], 연립 선형 방정식

지난시간에는 벡터에 대한 기본 개념과 연산 방법에 대해 배워보았습니다.

그리고, 책에 나와있는 내용은 아니지만 선형대수학을 앞으로 배움에 있어서 꼭 필요한 내용인 "차원"에 대한 내용도 추가적으로 설명드렸습니다.

 

이번 포스팅에서는 여러개의 선형 방정식을 동시에 다루어 보도록 하겠습니다.

기초적인 내용이다 보니 내용이 길지 않고 쉬워보일 수 있지만, 마지막에 설명드리게 될 Row picture와 Column picture에 대한 내용은 중요한 개념이니 꼭 짚고 넘어가시길 바랍니다.

 

 

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연립 선형 방정식

 

 

앞선 포스팅에서 말씀드렸듯, 우리는 이 연재과정을 다루는 동안 일차방정식만을 사용하겠다고 말씀드렸습니다.

다시 말해서 우리가 이번 포스팅에서 다루게 될 연립 선형 방정식 이라는 것은, 중학교 시절 배웠던 연립 일차 방정식과 동일합니다.

 

강아지와 병아리가 합쳐서 총 10마리 있다.

또, 이들의 다리 수를 세어보니 22개의 다리를 가지고 있었다.

강아지와 병아리는 각각 몇마리인가?

 

중학교 시절 수학을 배우면서 수도 없이 보았을 문제 중 하나입니다.

앞선 두 강의의 내용을 이해하신 분이라면 저정도 문제는 손쉽게 푸실 수 있겠지요?

 

강아지의 마릿수를 

, 고양이의 마릿수를 

라고 해봅시다.

 

그럼 아래와 같은 두개의 일차방정식이 만들어집니다.

 

 

이 연립방정식은 어떻게 풀 수 있을까요?

당연한 질문이지만, 선형대수학은 이 연립방정식을 푸는 것 으로부터 시작됩니다.

 

첫 번째 방정식에 4를 곱해볼까요?

 

 

그 다음 위의 식에서 아래의 식을 빼줍시다.

 

 

따라서 강아지는 한마리, 병아리는 아홉마리가 되겠네요.

 

이렇게 한 식에서 다른 한 식을 빼줌으로써 하나의 미지수를 소거하는 방법은 다음 포스팅에서 다룰 Elimination의 기본적인 개념이 됩니다.

 

이번 포스팅에서는 Elimination을 다루기 전에 연립 일차 방정식을 행렬로 표현하는 방법에 대해 다루어 보겠습니다.

 

 

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연립 일차 방정식과 좌표평면 (Row Picture)

 

 

앞서 보여드린 두개의 식이 있습니다.

이 식을 좌표 평면상에 두개의 그래프로 나타내볼까요?

 

좌표평면 상에 나타낸 두 개의 그래프는 교점 (1,9)에서 만난다는 사실을 알 수 있습니다.

그런데 1과 9, 어디서 많이 본 숫자 아닌가요?

네, 앞서 구했던 강아지와 병아리의 마릿수와 동일합니다.

 

미지수가 두개인, 두 개의 일차 방정식은 좌표평면상에 나타내 교점을 찾을 수 있습니다. (두 일차 함수가 평행하다면 그렇지 않지만요.)

그리고 그 교점이 두 연립방정식의 해가 됩니다.

 

 

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연립일차방정식과 행렬

 

 

 

연립 방정식은 위에 나타낸 것 처럼 표현할 수도 있지만 미지수 앞의 계수를 이용해, 행렬으로 표현할 수도 있습니다.

 

 

어렵지 않지요?

행렬에 대한 곱셈은 고등학교 교육과정이므로 자세히 다루지는 않겠습니다. 혹시 아직 배우지 않으셨거나 기억이 나지 않으신다면 아래 문서를 참고해주시길 바랍니다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%96%89%EB%A0%AC_%EA%B3%B1%EC%85%88

 

행렬에 대한 곱셈을 풀면 처음에 표현한 두 개의 연립방정식이 나오는 것을 알 수 있지요?

이러한 두 개의 연립방정식은 행렬의 행(Row)에 의해 만들어 지기 때문에, 이 연립방정식을 좌표평면에 나타난 그림(Picture)을 Row Picture라고 부릅니다.

 

Row Picture가 있다면 Column(열) Picture도 존재할까요?

네, 맞습니다.

 

위에서 표현한 행렬식을 조금 다른 형태로 바꾸어볼까요?

 

아까 보여진 형태와 달리 이번에는 행렬의 Column들로 방정식을 만들었습니다.

세 개의 Column Vector인 (1,4), (1,2), (10,22)를 좌표 평면 상에 나타내볼까요?

 

 

못난 제가 숫자를 예쁘지 않게 설정하는 바람에 주황색 벡터와 보라색 벡터가 겹쳐보이는 것 처럼 보이지만, 분명히 다른 벡터입니다.

 

그런데 이렇게 나타낸 세 개의 벡터를 가지고 어떻게 해를 구할 수 있을까요?

주황색 벡터의 길이를 1배 증가시키고, 빨강색 벡터의 길이를 1배 증가시켜볼까요?

 

 

두 벡터의 길이를 증가시킨 뒤 더해보니 보라색 벡터가 생성됨을 알 수 있습니다.

(벡터의 덧셈은 [1]번 포스팅을 참고해주세요.)

 

다시 앞에서 표현했던 행렬 식으로 되돌아가볼까요?

여기서 벡터 

에 x를 곱한다는 행위는 벡터의 길이를 x배만큼 증가시키겠다는 의미로 볼 수 있습니다. 물론 y도 마찬가지지요.

따라서, 두 벡터를 "적절히" 조합해서 우변의 벡터 

를 만드는 행위가 우리가 Column Picture상에서 한 행위가 되는 것입니다.

 

이것은 우리가 [1]번 포스팅에서 배웠던 Linear Combination (선형 결합)과도 연계되는 개념이지요.

 

 

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세 개의 연립일차방정식

 

 

미지수가 세 개인 연립일차방정식이 해를 가지기 위해서는, 적어도 세 개의 (평행하지 않은) 일차 방정식이 필요합니다.

 

미지수가 세 개인 연립방정식을 행렬로 나타내볼까요?

 

 

미지수가 세 개 이기 때문에 연립방정식도 세개이고, 마찬가지로 이 연립방정식도 Row Picture과 Column Picture로 나타낼 수 있습니다.

 

먼저 Row Picture를 고려해볼까요?

Row Picture 상에서는 세 개의 평면의 교점을 통해 해를 찾을 수 있습니다.

(두번째 식 오타입니다. 2x + y + 2z = 14)

 

 

세 평면의 교점이 잘 보이지는 않지만 (2,4,6)임을 알 수 있었습니다.

 

그러면 Column Picture를 고려해볼까요?

사실 Column Picture로 보아도 쉽게 해가 보이진 않지만, 3차원 공간에서의 2차원 평면을 가지고 생각해야하는 Row Picture에 비해서는 간단해 보입니다.

 

빨간 벡터를 2배, 초록 벡터를 4배, 파란 벡터를 6배 늘린 후 더하면 갈색 벡터인 (6,14,26)이 완성됩니다.

 

만약 차원이 더 높아진다면 Row Picture를 상상하기는 더욱 어려워 집니다.

네 개의 일차방정식만 생각해봐도, 4차원 공간에서 3차원 공간 네개의 교점을 찾는다는것은 불가능해 보입니다. (아인슈타인은 머릿속으로 4차원 공간을 상상했다는데... 이것도 가능할지는 모르겠습니다 ^^..)

 

반면 Column Picture의 경우 네 개의 벡터만 고려하면 되기 때문에 큰 어려움은 없어보입니다. 물론 4차원 공간 속에서 벡터가 존재하기에, 4차원 공간을 상상해야 하는 것은 마찬가지지만요. (아인슈타인에게도 이 방법이 훨씬 쉽게 느껴지겠죠?)